Patariu.lt   Studijos   N-18   Sapnininkas   Receptai

Atvaizdų metodo sprendžiant kai kuriuos elektrostatikos uždavinius taikymo suvokimas

Jei elektriniame lauke į bet kokį ekvipotencialinį paviršių įdėsime laidininką ir suteiksime jam ekvipotencialinio paviršiaus potencialą, tai elektrinis laukas išliks nepakitęs. Tuo remiantis kartais galima gerokai supaprastinti kai kuriuos sudėtingų krūvių sistemų kuriamų laukų skaičiavimo uždavinius.
Panagrinėsime du atvejus: atvaizdą plokštumoje ir atvaizdą sferoje.

  • Atvaizdas plokštumoje.

Tarkime, kad yra du lygių modulių, bet priešingų ženklų krūviai +q ir -q, atstumas tarp kurių 2l (27 pav.). Šių krūvių lauke imkime vienodai nutolusią nuo abiejų krūvių begalinę plokštumą, statmeną per krūvius einančiai tiesei. Akivaizdu, kad bet kurio šios plokštumos taško potencialas bus lygus nuliui. Taigi vietoje šios plokštumos galime įdėti laidžią įžemintą (t. y. turinčią nulinį potencialą) plokštę. Tai padarius, laukas nepakis. Vieną iš tų dviejų krūvių, pavyzdžiui, dešiniosios pusės neigiamąjį, dabar galima pašalinti. Jį pašalinus, į krūvį +q atkreiptoje plokštės pusėje atsiras šio krūvio indukuoti neigiami krūviai. Kairėje pusėje dėl to laukas irgi išliks nepakitęs, nes begalinė plokštė ekranuoja kairiąją pusę nuo dešiniosios. Tiesa, šį nepakitusi lauką dabar kurs krūvis +q kartu su plokštėje jo indukuotais neigiamais krūviais.
Trumpiau šio metodo esmę galima nusakyti taip: laukas, kurį kuria šalia įžemintos begalinės laidžios plokštės l atstumu esantis taškinis krūvis +q kartu su plokštėje indukuojamais krūviais yra toks, kokį sukurtų tas krūvis kartu su kitoje plokštės pusėje l atstumu esančiu taškiniu krūviu -q.
Apskaičiuoti dviejų taškinių krūvių lauką yra daug paprasčiau, nei taškinio krūvio ir plokštėje jo indukuotų paviršinių krūvių kuriamą suminį lauką.
2) Atvaizdas sferoje.

Nustatykime, kokią geometrinę formą turi dviejų nelygių modulių priešingų ženklų taškinių krūvių +q ir -q¢ kuriamo lauko ekvipotencialiniai paviršiai. Tarkime, kad |q¢|<|q|. Tegu stačiakampėje koordinačių sistemoje tie krūviai būna x ašyje: krūvio q¢ koordinatės (a,0,0), o krūvio q (d,0,0) (28 pav.). Bet kokio taško A(x,y,z) potencialas

Čia r+ ir r- – atstumai tarp taško A ir krūvių. Juos galime išreikšti koordinatėmis:

Taigi

Taško A potencialas bus lygus nuliui, jei
(1.71)
(1.71) pertvarkome taip:

(1.72)

Žinome, kad lygtis sferos, kurios centras koordinačių sistemos pradžioje ir spindulys R, yra
. (1.73)
(1.72) įgautų (1.73) pavidalą, jei būtų tenkinamos šios dvi sąlygos:
(1.74)
Išsprendę (1.74) q¢ ir a atžvilgiu, nustatome, kad
(1.75)
(1.76)
(1.75) prirašėme minuso ženklą norėdami pabrėžti, kad q ir q¢ yra priešingų ženklų, nes iš (1.74) nustatėme tik krūvio q¢ modulį.
Dabar tarkime, kad šalia laidžios įžemintos R spindulio sferos (ar rutulio) d nuotolyje nuo centro yra taškinis krūvis q (29 pav.). Jei sferos viduje, a nuotolyje nuo centro, būtų taškinis krūvis q¢, tai krūvių q ir q¢ kuriamas sferos potencialas būtų lygus nuliui. Taigi laukas šalia sferos, kurį kuria krūvis q ir jo indukuoti sferoje krūviai, yra toks pat, kaip ir tų dviejų taškinių krūvių kuriamas laukas. Čia q¢ apskaičiuojamas pagal (1.75), o jo atstumas nuo centro a – pagal (1.76). Krūvis -q¢ šiuo atveju yra krūvio +q atvaizdas sferoje.
Atvaizdų sferoje metodą galima pritaikyti ir tuo atveju, jei krūvis +q esti šalia neutralios neįžemintos laidžios sferos. Šiuo atveju sferos potencialas (skaičiuojame centro potencialą)
(1.77)
Kadangi krūviai +q ir -q¢ sferoje sukuria nulinį potencialą, tai jos centre turi būti toks krūvis +q¢¢, kuris sukurtų tą potencialą, t. y.
(1.78)
Sulyginę (1.77) ir (1.78) dešiniąsias puses, nustatome, kad

Taigi šiuo atveju lauką už sferos galima skaičiuoti kaip trijų taškinių krūvių +q, -q¢ ir +q¢ kuriamų laukų superpoziciją.
Pagaliau jei taškinis krūvis +q yra šalia krūviu q1 įelektrintos laidžios sferos (ar rutulio), centre turi būti krūvis q1+q¢.
Pabrėšime, jog atvaizdų metodą galima pritaikyti ir kai krūvis +q esti laidžios sferos viduje. Šiuo atveju atvaizdo krūvis ir jo atstumas nuo centro apskaičiuojamas pagal tas pačias formules (1.75) ir (1.76), o laukas – sferos viduje.

Susiję įrašai:


Hey.lt - Nemokamas lankytoj� skaitliukas