Inžinerinė grafika
1.Įvadas. Braižomoji geometrija užima tvirtą vietą disciplinų, sudarančių inžinerinio paruošimo pagrindą, tarpe. BG uždavinys yra rasti geometrijos dėsniais paremtus būdus figūroms ir kūnams atvaizduoti plokštumoje taip, kad iš brėžinio pilnai būtų galima įsivaizduoti šių figūrų bei kūnų padėtį ir formą erdvėje. Kad brėžiniais buvo naudojamasi senaisiais laikais, įrodoma sudėtinga Babilono, Graikijos, Egipto, Azijos šventyklų, rūmų, tvirtovių architektūra. BG kaip mokslo idėjos egzistavo gilioje senovėje, tačiau nebuvo bendros teorijos bei aiškių jos pritaikymo metodų praktikoje. XVIIIa. pabaigoje prancūzų mokslininkas Kasparas Monžo apibendrino anksčiau sukauptą projektavimo patirtį ir sukūrė mokslinę discipliną apie stačiakampes projekcijas, t.y. dviejų vaizdų teoriją. Todėl jo vardas siejamas su BG, kaip matematikos mokslo atšakos sukūrimu. K.M. suformulavo 3 pagrindines BG užduotis:
1)Erdvinių trimačių figūrų grafinio vaizdavimo plokščiam brėžinyje įvaldymas t.y. išmokti sudaryti brėžinį.2)Erdvinių figūrų geometrinių ypatumų suvokimas iš jų brėžinių, t.y. išmokti skaityti brėžinį. 3)Praktinių uždavinių, nusakančių trimačių objektų elementų ryšį sprendimas dvimačiame plokščiame brėžinyje.
2.Projektavimo metodai. BG tiria atvaizdų sudarymo projekcinius metodus. Sudarant brėžinį nustatomas tam tikras ryšys tarp objekto ir jo atvaizdo.
1)Centrinis projektavimas. Tai vienas iš bendriausių geometrinių figūrų atvaizdų sudarymo atvejų. Pravedam iš projektavimo centro S per tašką A spindulį SA iki susikirtimo su plokštuma Q, gauname tašką A1. Analogiškai galime gauti ir taško B projekciją. Šios taško projekcijos vadinasi centrinėmis.
1)Lygiagretus projektavimas- tai atskiras natrinio projektavimo atvejis, kai projektavimo centras be galo nutolęs. Tada visi projektavimo spinduliai lygiagretūs. Kad gauti taško projekciją per tašką vedam tiesę lygiagrečią projektavimo krypčiai iki susikirtimo su projekcine plokštuma Q. Abiem būdais gauta viena taško projekcija jo padėties erdvėje nenusako.
2)Stačiakampis(ortogonalinis) projektavimas. Tai pagrindinis BG metodas. Stač. Pr. Yra lygiagretaus projektavimo atvejis, kai projektavimo spindulių kryptis statmena projekcinei plokštumai. Šis metodas mažiausiai keičia figūrų matmenis ir formą.
3.Dekarto koordinačių sistema. Kadangi pagal vieną stačiakampę projekciją negalima atkurti originalo, todėl naudojamas projektavimas į tris plokštumas. Trys tarpusavyje stačiais kampais susikertančios plokštumos, erdvę dalina į aštuonias dalis. Brėžinio supaprastinimui naudojame epiūrą.
Taško projekcijos. Taškas – viena iš pagrindinių ir elementariausia sąvoka. Jis negali būti nusakytas kitais geometriniais elementais. Taškas neturi matmenų, o žymi tik vietą erdvėje. Norint rasti taško A tris stačiakampes projekcijas, iš taško nuleidžiame statmenis į projekcines plokštumas. Jų sankirta nusako taško A tris projekcijas. Kadangi taško padėtį nusako trys koordinatės, tai pagal duotas koordinates atidedame taško projekcijas epiūroje sekančiai. Kai taškas erdvėje, jį nusako trys koordinatės:1)x-rodo nuotolį nuo P(profilinės) plokštumos; 2)y- nuo F;3)z- nuo H. Jei taškas priklauso projekcijų plokštumai, jis nusakomas dviem koordinatėmis, viena 1-0. Ašyje taškas nusakomas viena koordinate.
4.Aksonometrija.Tai objekto vaizdas, gautas projektuojant užduotoje koordinačių sistemoje į originalą į laisvai pasirinktą projekcinę plokštumą. Klasifikacija: 1). Priklausomai nuo ašių iškreipimo koeficiento aksonometrinės projekcijos skirstomos: a) izometrinės, kai aksonometrinės ir mąstelinės koordinatės lygios kx=ky=kz(kuri nors viena koordinatė); b)dimetrinės, kai kx=ky<>kz (kuri nors viena koordinatė)c)trimerinės, kai kx<>ky<>kz 2).priklausomai nuo projektavimo krypties yra stačiakampės ir pražulniosios a)S. izomerija b)S. dimetrija kx=kz<>ky c) p. frontalinė dimetrija
d) p. f. izometrija kx=ky=kz;e)p. horizontalinė izometrija
5.Ypatingos padėties tieses.Erdvinė tiesė projekcinių plokštumų atveju gali būti lygiagreti, statmena, ar pasvirusi.Ypatingos tiesės-tai lygiagrečios (lygios tiesės) ar statmenos- projektuojančios.Tokios tiesės yra -horizontalė h lygiagreti H. Horizontalės tiesės visi taškai vienodai nutolę nuo horizontalinės plokštumos. Profilinė tiesė lygiagreti profilinei projekcijų plokštumai. Jos visi taškai vienodai nutolę nuo profilinės plokštumos P.Tiesės statmenos projekcijų plokštumoms vadinamos projektuojančiomis. Bendros padėties tiesė- tai tiesė nei su viena iš projekcinių plokštumų nesudaranti kampo lygaus 0 arba 90 laipsnių, tai yra nelygiagreti ir nestatmena. Norint rasti tiesės atkarpos AB projekcijas reikia rasti galimų taškų projekcijas ir vienvardes projekcijas sujungti tiesiomis linijomis. Bendros padėties tiesės nei viena projekcija nėra tikrasis ilgis ir nežinomi kampai su projekcijų plokštumomis. Norint rasti tiesės atkarpos tikrąjį ilgį, reikia įsivaizduoti kaip tai atrodo aksonometrijoje. kampas alfa- tarp tiesės ir plokštumos H, t.y. tarp tiesės ir jos projekcijos į plokštumą. Delta z- taškų A ir B z koordinačių skirtumas. Epiūroje sudarome tokį statų trikampį prie tiesės horizontalinės projekcijos. Iš bet kurio atkarpos taško iškeliame statmenį lygų z, gauname tašką A0. Sujungus su Be gauname trikampį A’B'A0=ABC, kur A0B’tikrasis ilgis, o kampas alfa- prieš statinį z. norint rasti kampą beta sudarome statų trikampį prie frontalinės projekcijos, kur trikampio statinis A”B”, o kitas- delta y. prieš statinį delta y- kampas beta. Kampas gama randasi prieš statinį delta x sudarius statų trikampį prie profilės projekcijos.
6.Dviejų tiesių tarpusavio padėtys. Tiesės erdvėje gali būti susikertančios, prasilenkiančios ir lygiagrečios: 1) dviejų lygiagrečių tiesių projekcijos yra lygiagrečios tiesės. Jų atkarpų ir projekcijų santykis yra lygus. 2) dvi tiesės turinčios bendrą tašką vadinamos susikertančiom. Vienvardžių projekcijų sankirtos taškai yra tiesių sankirtos erdvėje projekcijos. 3) prasilenkiančios tiesės neturi bendrų taškų ir nėra tarpusavyje lygiagrečios. Nors H projekcijoje tiesės ir kertasi bet tai yra tik atskirų tiesių du taškai, gulintys ryšio linijoje ir dengiantys vienas kitą. Tokie taškai, kurie yra projektuojančiame spindulyje, vadinami konkuruojančiais. Iš dviejų konkuruojančių taškų matysime tą kuris labiau nutolęs nuo projekcijos plokštumos.
7.Stataus kampo teorema. Tai svarbi stačiakampio projektavimo savybė. Status kampas projektuojasi stačiuoju jei viena kampo kraštinė lygiagreti projekcinei plokštumai. Jei tiesė statmena dviem susikertančiom tiesėm, tai ji statmena tų tiesių plokštumai.
8.Paviršiai. Paviršius- tai bet kurios tam tikru būdu judančios linijos atskirų padėčių visuma. Plokštuma- tai paprasčiausiais paviršius, kurio padėtį erdvėje nusako trys taškai, nepriklausantys vienai tiesei. Plokštumos ženklinimui epiūroje naudojami
Paprasčiausi geometriniai elementai: 1) trys taškai nepriklausantys vienai tiesei. 2) tiesė ir šalia jos esantys taškas. 3) dvi tiesės, jos gali būti susikertančios ar lygiagrečios. Kartais naudinga plokštumą pavaizduoti pėdsakais t.y. duotos plokštumos ir projekcinių plokštumų sankirtos linijomis. Anksčiau pateikiame bendros padėties plokštumas t.y. projekcijų plokšt. Pasvirusiais bet kokiu kampu.
9.Ypatingos padėties plokštumos: 1) lygio plokštumos tai plokštumos lygiagrečios projekcinėms plokštumoms. 2) projektuojančios plokštumos- tai plokštumos statmenos projekcijų plokštumoms. Ypatingos padėties plokštumos pasižymi ta savybe, kad taškas tiesės, figūros, priklausančios tai plokštumai vienoje projekcijoje(ar dviejose) visada projektuojasi tiese.
10.Taškas ir tiesė plokštumoje. Plokštumai nusakyti, ar spendžiant uždavinius naudojamos plokštumų tiesės. 1) Tiesė yra plokštumoje jei eina per du taškus, priklausančius tai plokštumai. Taškas plokštumoje traktuojamas kaip elementas tiesės, esančios plokštumoje t.y. jis priklauso plokštumai, jei priklauso plokštumos tiesei. 2) Tiesė priklauso plokštumai, jei ji eina per vieną plokštumos tašką ir lygiagreti kuriai nors plokštumos tiesei.
11.Plokštumos lygio tiesės. Tai tiesės lygiagrečios projekcinėms plokštumoms ir priklausančios kuriai nors bendros padėties plokštumai.