Lygtys bangolaidžių elektromagnetiniam laukui skaičiuoti
Banginių lygčių išvedimas.Elektromagnetinius procesus idealiajame 
ir reguliariajame 
bet kokio skerspjūvio bangolaidyje aprašo Maksvelo lygčių
(9.1)
sprendiniai. Jų ieškosime pagal harmoninį dėsnį laike kintančių elektromagnetinių laukų pavidalu. Pagrindines lygtis išvesime apibendrintos skerspjūvio formos bangolaidžiui (9.3 pav.). Koordinatinę ašį, nukreiptą išilgai bangolaidžio, vadinsime išilgine ir žymėsimeraide z. Koordinačių ašis, esančias ašiai z statmenoje plokštumoje, apibendrintai vadinsime skersinėmis ir žymėsime raides. Konkretus jų pasirinkimas priklausys nuo bangolaidžio skerspjūvio formos ir pasirinktos koordinačių sistemos. Pavyzdžiui, skaičiuojant elektromagnetinį lauką stačiakampiame bangolaidyje, tikslinga taikyti Dekarto koordinačių sistemą – x,y, o apskritame ir bendraašiame bangolaidžiuose – polinę koordinačių sistemą – 
.
Abiem lygčių sistemos (9.1) pusėms taikome rotoriaus operatorių ir, pašalinę iš (9.1) sistemos pirmosios lygties 
vektorių, o iš antrosios – 
vektorių, gausime:
(9.2)
. (9.3)
Žinome, kad 
(P1.14.7). Be to, bangolaidyje visada 
, o reguliariajame bangolaidyje – 
. Tai įvertinę, gausime homogenines bangines lygtis:
, (9.4)
. (9.5)
Laplaso operatorių 
galima aprašyti skersinėje plokštumoje:
. (9.6)
Konkreti operatoriaus 
išraiška priklauso nuo pasirinktos koordinačių sistemos. Pavyzdžiui, Dekarto koordinačių sistemoje Laplaso operatorius skersinėje plokštumoje:
.
Įrašę (9.6) į (9.4) ir (9.5), gausime, kad
, (9.7)
. (9.8)
Kintamųjų atskyrimo metodo taikymas.Lygtims (9.7) ir (9.8) spręsti taikysime kintamųjų atskyrimo metodą. Pagal šį metodą ieškomoji kelių kintamųjų funkcija aprašoma funkcijų sandauga, kurių kiekviena priklauso tik nuo vieno kintamojo. Nagrinėjamuoju atveju elektromagnetinio lauko vektoriai priklauso nuo skersinių koordinačių s, išilginės koordinatės z ir laiko t. Todėl tariamasis sprendinys išreiškiamas taip:
(9.9)
čia 
ir 
– vektorinės funkcijos, apibūdinančios vektorių 
ir 
pasiskirstymą bangolaidžio skersinėje plokštumoje, 
– kompleksinė skaliarinė funkcija, aprašanti elektromagnetinio lauko vektorių priklausomybę nuo išilginės koordinatės z ir T(t) – laiko funkcija. Esant harmoniniams virpesiams, 
. Tada elektromagnetinio lauko vektorių kompleksinės amplitudės
. (9.10)
Tariamąjį sprendinį (9.9) ir funkcijos 
išraišką įrašę į (9.7) lygtį ir gautą rezultatą padaliję iš 
ir 
gausime:
(9.11)
Kairioji (9.11) lygties pusė priklauso tik nuo skersinių koordinačių, o dešinioji – nuo skersinių ir išilginės koordinačių. (9.11) lygybė bus teisinga tiktai tada, kai daugiklis skliaustuose dešinėje (9.11) lygties pusėje bus pastovus teigiamasis (+ks2) arba neigiamasis (ks2 = - ps2)dydis, t. y. kai
. (9.12)
Pirmuoju atveju bangolaidyje sklis greitoji (bangolaidinė) banga, kurios fazinis greitis didesnis už plokščiosios elektromagnetinės bangos greitį neapribotame, bangolaidį užpildančiame dielektrike. Antruoju atveju (ks2= – ps2) bangolaidyje sklis lėtoji (paviršinė) banga, kurios fazinis greitis mažesnis už plokščiosios elektromagnetinės bangos greitį neapribotame, bangolaidį užpildančiame dielektrike.
Lygtyje (9.12) 
, (+
) ir (–ps2 ) yra pastovūs nuo z nepriklausantys dydžiai.
Todėl lygybė (9.12) galima, jeigu ir pirmasis šios lygties narys yra pastovusis dydis:
(9.13)
Taigi iš (9.11) gausime tokias tris lygtis:
, (9.14)
(9.15)
(9.16)
Įrašę antrąjį tariamąjį sprendinį (9.9) į lygtį (9.8) ir atlikę analogiškus veiksmus, gausime ketvirtąją lygtį:
(9.17)
Lygtys (9.16) ir (9.17) vadinamos membraninėmis lygtimis, nes tokio tipo lygtys pirmą kartą gautos tiriant membranų virpesius. Dydžiai 
ir (– ps2) vadinami membraniniais skaičiais. (9.16) ir (9.17) yra vektorinės lygtys, todėl tiesiogiai jų išspręsti negalėsime, teks pereiti prie skaliarinių lygčių vektorių projekcijoms į koordinačių ašis.
Membraninės lygtys išilginėms elektromagnetinio lauko komponentėms.Kol neapibrėžta bangolaidžio skerspjūvio forma, galime imti tiktai projekcijas į išilginę koordinačių ašį. Tai įvertinę, galime parašyti, kad
(9.18)
; (9.19)
čia 
ir 
– skersinės, bangolaidžio skerspjūvio plokštumai lygiagrečios vektorių komponentės. Įrašę (9.18) išraišką į (9.16), o (9.19) išraišką į (9.17), gausime, kad 
(9.20)
, (9.21)
t. y. tarpusavyje statmenų skersinio ir išilginio vektorių sumos lygios nuliui. Tai įmanoma, kai kiekvienas iš šių vektorių bus lygus nuliui. Taip gausime dvi membraninių lygčių sistemas. Vieną jų sudaro skaliarinės lygtys išilginėms 
ir 
komponentėms, o antrąją – vektorinės lygtys skersiniams 
ir 
vektoriams.
(9.22) 
(9.23)
Skaičiuojant elektromagnetinį lauką bangolaidyje, sprendžiama (9.22) skaliarinių lygčių sistema. Skaliarinės lygtys išilginėms 
ir 
elektromagnetinio lauko vektorių komponentėms yra identiškos, todėl jas galima užrašyti apibendrintai:
(9.24)
Lygtis (9.24) sprendžiama konkrečioje koordinačių sistemoje, taikant kintamųjų atskyrimo metodą. Koordinačių sistema parenkama pagal bangolaidžio skerspjūvio formą. Lygties (9.24) dalinių sprendinių integravimo konstantos randamos iš ribinių sąlygų, kurios yra skirtingos 
ir 
komponentėms. Kaip pavyzdžius pateiksime membraninės lygties sprendimą Dekarto ir polinėje koordinačių sistemose.
Membraninės lygties sprendiniai Dekarto koordinačių sistemoje. Sprendinio ieškome tokio pavidalo:
(9.25)
Įrašę tariamąjį sprendinį į (9.24) lygtį ir abi jos puses padaliję iš X(x)Y(y) sandaugos, gausime:
. (9.26)
Pirmasis (9.26) lygties dėmuo priklauso tiktai nuo x, antrasis – tiktai nuo y, o jų suma lygi pastoviajam dydžiui. Tai įmanoma, jeigu kiekvienas dėmuo yra pastovusis dydis, t. y.
, 
;
čia 
, 
. (9.27)
Membraninę lygtį (9.24) pavyko išskaidyti į dvi paprastas diferencialines lygtis, kurias galime perrašyti taip:
, (9.28) 
. (9.29)
Šių diferencialinių lygčių sprendiniai greitosioms bangoms:
, 
(9.30)
ir lėtosioms bangoms:
, 
. (9.31)
Membraninės lygties sprendiniai polinėje koordinačių sistemoje. Polinėje koordinačių sistemoje lygtis (9.24) aprašoma taip:
. (9.32)
Taikome kintamųjų atskyrimo metodą ir rašome, kad
. (9.33)
Įrašę šį tariamąjį sprendinį į (9.32) lygtį ir padaliję ją iš 
, gausime:
. (9.34)
Pirmasis dėmuo priklauso nuo r , o antrasis – nuo
. Jų suma lygi nuliui, todėl kiekvienas iš jų turi būti lygus pastoviajam dydžiui. Jų reikšmės vienodos, o ženklai priešingi (+m2ir ‑ m2). Taip gausime diferencialines lygtis greitosioms bangoms:
(9.35)
ir lėtosioms bangoms
. (9.36)
Tai žinomos realiojo ir menamojo argumento Beselio lygtys. Trečioji lygtis bendra greitosioms ir lėtosioms bangoms:
. (9.37)
Lygčių (9.35) ir (9.36) sprendiniai aprašomi greitosioms bangoms:
(9.38)
ir lėtosioms bangoms:
, (9.39)
o (9.37) lygties sprendinys:
; (9.40)
čia Jm(x) – pirmojo tipo m-osios eilės Beselio funkcija, Nm(x) – antrojo tipo m-osios eilės Beselio funkcija, Im(x) – pirmojo tipo m-osios eilės menamojo argumento Beselio funkcija, Km(x) – antrojo tipo m-osios eilės menamojo argumento Beselio funkcija. Šių funkcijų grafikai m = 0, 1, 2 reikšmėms pateikti 9.4 pav. Išsprendę (9.15) lygtį kartu su (9.14), gausime bendriausias bangų sklidimo bangolaidyje sąlygas. Lygčių (9.28) ir (9.29) sprendiniai (9.30) ir (9.31), įvertinus ribines sąlygas bangolaidžio paviršiuje, aprašys išilgines elektromagnetinio lauko komponentes stačiakampio bangolaidžio skers
pjūvyje, o lygčių (9.35)–(9.37) sprendiniai (9.38)–(9.40) kartu su ribinėmis sąlygomis – jų pasiskirstymą apskritojo skerspjūvio bangolaidyje. Be to, spręsdami minėtąsias lygtis ir taikydami ribines sąlygas, gausime membraninio skaičiaus reikšmes. Kitų elektromagnetinio lauko komponenčių išraiškas gausime Ez ir Hz sprendinius įrašę į (9.41) ir (9.42) lygtis. Skersiniams elektromagnetinio lauko vektoriams 
ir 
skaičiuoti taikomos ryšio lygtys:
(9.41)
; (9.42)
čia 
– gradiento operatorius skersinėje plokštumoje, pvz., Dekarto koordinačių sistemoje turėsime: 
. Ryšio lygtys (9.41) ir (9.42) išvedamos iš Maksvelo lygčių (9.1). Išvedimas pateiktas 7 priede.